样本方差为什么分母N-1 自由度
样本方差不是让你就算出样本方差来,而是用样本方差来估计总体方差,如果用n做分母那么算出的方差不是无偏估计,也就是说n做分母的样本方差的期望值不等于总体方差的期望值,那就更谈不上什么有效性,只有当分母是n-1的时候样本方差才是无偏的,才能够反映总体方差.
1.总体方差为σ2,均值为μ S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n 设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2 E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] =E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)] =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2] 而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ2+μ2 E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ2/n+μ2 (为什么是N分之方差) 所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] =n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2) =(n-1)σ2 所以为了保证样本方差的无偏性 S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2 2.自由度也可以解释,不是有n个与均值偏差的平方和吗?正好这n个表
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