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分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC

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分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC

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ROC

上回我们提到,ROC曲线就是不同的阈值下,以下两个变量的组合(如果对Sensitivity和Specificity两个术语没有概念,不妨返回,分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(1): 混淆矩阵,强烈建议读者对着看):

Sensitivity(覆盖率,True Positive Rate)

1-Specificity (Specificity, 负例的覆盖率,True Negative Rate)

二话不说,先把它画出来(以下脚本的主体是标红部分,数据集valid_roc,还是出自上面提到的那篇):

axis order=(0 to 1 by .1) label=none length=4in;

symbol i=join v=none c=black;

symbol2 i=join v=none c=black;

proc gplot data = valid_roc;

plot _SENSIT_*_1MSPEC_ _1MSPEC_*_1MSPEC_

/ overlay vaxis=axis haxis=axis;

run; quit;

分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC

上图那条曲线就是ROC曲线,横轴是1-Specificity,纵轴是Sensitivity。以前提到过,随着阈值的减小(更多的客户就会被归为正例),Sensitivity和1-Specificity也相应增加(也即Specificity相应减少),所以ROC呈递增态势(至于ROC曲线凹向原点而非凸向原点,不知道有无直观的解释,不提)。那条45度线是作为参照(baseline model)出现的,就是说,ROC的好坏,乃是跟45度线相比的,怎么讲?

回到以前,我们分析valid数据,知道有36.5%的bad客户(Actual Positive )和63.5%的good客户(Actual Negative)。这两个概率是根据以往的数据计算出来的,可以叫做“先验概率”( prior probability)。后来,我们用logistic回归模型,再给每个客户算了一个bad的概率,这个概率是用模型加以修正的概率,叫做“后验概率”(Posterior Probability)。

预测
1 0
1 d, True Positive c, False Negative c+d, Actual Positive
0 b, False Positive a, True Negative a+b, Actual Negative
b+d, Predicted Positive a+c, Predicted Negative

如果不用模型,我们就根据原始数据的分布来指派,随机地把客户归为某个类别,那么,你得到的True Positive对False Positive之比,应该等于Actual Positive对Actual Negative之比(你做得跟样本分布一样好)——即,d/b=(c+d)/(a+b),可以有(d/c+d)/(b/a+b)=1,而这正好是Sensitivity/(1-Specificity)。在不使用模型的情况下,Sensitivity和1-Specificity之比恒等于1,这就是45度线的来历。一个模型要有所提升,首先就应该比这个baseline表现要好。ROC曲线就是来评估模型比baseline好坏的一个著名图例。这个可能不够直观,但可以想想线性回归的baseline model:

分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC

如果不用模型,对因变量的最好估计就是样本的均值(上图水平红线)。绿线是回归线(模型),回归线与水平线之间的偏离,称作Explained Variability, 就是由模型解释了的变动,这个变动(在方差分析里,又称作model sum of squares, SSM)越大,模型表现就越好了(决定系数R-square标准)。同样的类比,ROC曲线与45度线偏离越大,模型的效果就越好。最好好到什么程度呢?

在最好的情况下,Sensitivity为1(正确预测到的正例就刚好等于实际的正例总数),同时Specificity为1(正确预测到的负例个数就刚好等于实际的负例数),在上图中,就是左上方的点(0,1)。因此,ROC曲线越往左上方靠拢,Sensitivity和Specificity就越大,模型的预测效果就越好。同样的思路,你还可以解释为什么ROC曲线经过点(0,0)和(1.1),不提。

AUC, Area Under the ROC Curve

ROC曲线是根据与45度线的偏离来判断模型好坏。图示的好处是直观,不足就是不够精确。到底好在哪里,好了多少?这就要涉及另一个术语,AUC(Area Under the ROC Curve,ROC曲线下的面积),不过也不是新东西,只是ROC的一个派生而已。

回到先前那张ROC曲线图。45度线下的面积是0.5,ROC曲线与它偏离越大,ROC曲线就越向左上方靠拢,它下面的面积(AUC)也就应该越大。我们就可以根据AUC的值与0.5相比,来评估一个分类模型的预测效果。

SAS的Logistic回归能够后直接生成AUC值。跑完上面的模型,你可以在结果报告的Association Statistics找到一个叫c的指标,它就是AUC(本例中,c=AUC=0.803,45度线的c=0.5)。

/*注:以上提到的c不是AUC里面那个’C’。这个c是一个叫Wilcoxon-Mann-Whitney 检验的统计量。这个说来话长,不过这个c却等价于ROC曲线下的面积(AUC)。*/

ROC、AUC:SAS9.2一步到位

SAS9.2有个非常好的新功能,叫ODS Statistical Graphics,有兴趣可以去它主页看看。在SAS9.2平台提交以下代码,Logistic回归参数估计和ROC曲线、AUC值等结果就能一起出来(有了上面的铺垫,就不惧这个黑箱了):

ods graphics on;

proc logistic data=train plots(only)=roc;

model good_bad=checking history duration savings property;

run;

ods graphics off;

分类模型的性能评估——以SAS Logistic回归为例(2): ROC和AUC

这个ROC图貌似还漂亮些,眼神好能看见标出来的AUC是0.8029。 最后提一句,ROC全称是Receiver Operating Characteristic Curve,中文叫“接受者操作特性曲线”,江湖黑话了(有朋友能不能出来解释一下,谁是Receiver,为什么Operating,何谓Characteristic——这个看着好像是Sensitivity和Specificity),不过并不妨碍我们使用ROC作为模型评估的工具。

下期预告:Lift和Gain

不多说,只提一句,跟ROC类似,Lift(提升)和Gain(增益)也一样能简单地从以前的Confusion Matrix以及Sensitivity、Specificity等信息中推导而来,也有跟一个baseline model的比较,然后也是很容易画出来,很容易解释。

参考资料

  1. Mithat Gonen. 2007. Analyzing Receiver Operating Characteristic Curves with SAS. Cary, NC: SAS Institute Inc.
  2. Mike Patetta. 2008. Categorical Data Analysis Using Logistic Regression Course Notes.Cary, NC: SAS Institute Inc.
  3. Dan Kelly, etc. 2007. Predictive Modeling Using Logistic Regression Course Notes. Cary, NC: SAS Institute Inc.
  4. Receiver operating characteristic, seehttp://en.wikipedia.org/wiki/Receiver_operating_characteristic
  5. The magnificent ROC, see http://www.anaesthetist.com/mnm/stats/roc/Findex.htm
del.icio.us Tags: Wilcoxon-Mann-Whitney,Confusion Matrix,覆盖率,Logistic回归,SAS,Sensitiveity,Specificity,分类模型,命中率,数据挖掘,混淆矩阵,ROC,AUC,Receiver Operating Characteristic Curve,接受者操作特性曲线

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