本站分享:大数据、数据分析师考试认证培训,包括:Python培训Excel培训Matlab培训SPSS培训SAS培训R语言培训Hadoop培训Amos培训Stata培训Eviews培训广告位

SAS和蒙特卡罗模拟(2):随机数基础

sas培训 cdadata 700℃ 0评论

《SAS和蒙特卡罗模拟(1):开篇》——简介,通过例子建立起蒙卡的直观概念;参考软件包及书目

*********************************************************************************************************************************

SAS for Monte Carlo Simulations (2): Random Numbers

最简单、最基本、最重要的随机变量是在[0,1]上均匀分布的随机变量。一般地,我们把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数,其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。以下谈的都是所谓“伪随机数”(Pseudo Random Numbers)。产生随机数,可以通过物理方法取得(很久很久以前,兰德公司就曾以随机脉冲源做信息源,利用电子旋转轮来产生随机数表),但当今最为普遍的乃是在计算机上利用数学方法产生随机数。这种随机数根据特定的迭代公式计算出来,初值确定后,序列就可以预测出来,所以不能算是真正的随机数(就成为“伪随机数”)。不过,在应用中,只要产生的伪随机数列能通过一系列统计检验,就可以把它们当成“真”随机数来用。

现在大多软件包内置的随机数产生程序,都是使用同余法(Congruential Random Numbers Generators)。“同余”是数论中的概念。

0.预备知识:同余

捡回小学一年级的东西:”4/2=2″读作“4除以2等于2”,或者,“24等于2”。还有求模的符号mod(number,divisor),其中,number是被除数(在上式中,为4),divisor是除数(上式中的2)。这样的约定对SAS和Excel都通用,如mod(4,13)=4,mod(13,4)=1。

现在我们可以开讲“同余”了。设m是正整数,用m去整数a、b,得到的余数相同,则称“a与b关于模m同余”。上面的定义可以读写成,对整数a、b和正整数m,若mod(a,m)=mod(b,m),则称“a与b关于模m有相同的余数(同余)”,记做a≡b(mod m)(这就是同余式)。举个例子,mod(13,4)=1,mod(1,4)=1,则读成13和1关于模4同余,记做13≡1(mod 4)。当然,同余具有对称性,上式还可以写成1=13(mod 4)。

a≡b(mod m)的一个充要条件是a=b+mt,t是整数,比如13=1+3*4。a=b+mt可以写成(a-b)/m=t,即m能整除(a-b)。

这些就够了。更多基础性的介绍,可以参考《同余(数据基础)》。

1.乘同余法

同余法是一大类方法的统称,包括加同余法、乘同余法等。因为这些方法中的迭代公式都可以写成上面我们见过的同余式形式,故统称同余法。常用的就是下面的乘同余法(Multiplicative Congruential Generator.)。符号不好敲,做些约定,如R(i)就是R加一个下标i。

乘同余法随机数生成器的同余形式如下:R(i+1)=a*R(i) (mod m)。这个迭代式可以写成更直观的形式,R(i+1)=mod[a*R(i),m],其中初值R(0)称为随机数种子。因为mod(x,m)总是等于0到m-1的一个整数,所以最后把R(i+1)这个随机序列都除以m,就可以得到在[0,1]上均匀分布的随机数。下面用电子表格演示一遍,假设随机数种子R(0)=1,a=4,m=13:

A B C D E
1 i R(i) a*R(i) mod[a*R(i),m] mod[a*R(i),m]/m
2 0 1 =B2*4 =mod(C2,13) =D2/13
3 1 =D2 =B3*4 =mod(C3,13) =D3/13
4 2 =D3 =B4*4 =mod(C4,13) =D4/13

上面显示的是公式(Excel中,公式与计算结果的转换,用快捷键ctrl+~实现),结果看起来是这样的,E列就是我们想要的在[0,1]上均匀分布的随机数:

A B C D E
1 i R(i) a*R(i) mod[a*R(i),m] mod[a*R(i),m]/m
2 0 1 4 4 0.307692308
3 1 4 16 3 0.230769231
4 2 3 12 12 0.923076923

上表中,a*R(1)=16,R(2)=3,m=13,一个同余式就是R(2)=a*R(1) (mod m),3=16(mod 13),或者说,16-3能够被13整除——同余法就是这意思了。说“乘同余法”,要点在于a*R(i)是乘法形式。在SAS系统中,a=397,204,094,m = 2^31-1=2147483647(一个素数),随机种子R(0)可以取1到m-1之间的任何整数。

2.伪随机数的检验

现在内置于各大软件包的随机数生成器都经过了彻底的检验,我们当然可以安心地使用这个黑箱。或则我们也可以多了解些。一个好的“伪”随机数列,应该看起来就跟从[0,1]上均匀分布的随机数列中随机抽取出来的一样。两个比较直观的检验有:

  1. 均匀性检验——所有的数是否均匀地分布在[0,1]区间;
  2. 独立性(或不相关)检验——序列中的数不存在序列相关,每个数都跟其前后出现的数独立无关。一个例子是如0.1、0.2、0.3、0.4、0.5,这里每一个相继的数都正好比它前面的一个数大0.1,这样这个数列就似乎有了某种“格局”。

具体的检验方法就略之了,更多请参见徐钟济(1985)。

3.生成其他概率分布的随机数

前面提到过,我们把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数,其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。对其他连续型分布,(累积)分布函数为F(x),r是在[0,1]上均匀分布的随机变量,另r=F(x),解出的x就是该连续型分布的随机抽样。由于x可以写成r的反函数,该变换就称作“逆变换”(Inverse Transformation method)。对离散型分布,思路类似,不过繁琐些,具体可以见徐钟济(1985)、Ross(2006)和Evans等(2001)。大多数相关软件包都会提供各种分布的随机数生成函数,知道有这回事就可以。最重要的,是我们陈述一类问题时,知道需要用哪种概率分布来描述Evans等(2001):

常用的连续分布

  1. 均匀分布(Uniform Distribution)描述在某最小值和最大值之间所有结果等可能的随机变量的特性。
  2. 正态分布(Normal Distribution)是对称的,具有中位数等于均值的性质,就是我们熟悉的钟形形状。各种类型的误差常常是正态分布的。最后,作为中心极限定理的推论,大量具有任意分布的随机变量的平均数也呈正态分布。
  3. 三角形分布(Triangular Distribution)由三个参数来定义,最大值、最小值和最可能值。临近最可能值的结果比那些位于端点的结果有更大的出现机会。
  4. 指数分布(Exponential Distribution)常用来构建在时间上随机重现的事件的模型,如顾客到达服务系统的时间间隔、机器元件失效前的工作时间等。它的主要性质是“无记忆性”(Memoryless) ,即当前时间对未来结果没有影响。例如,不论机器原先已经运转了多长时间,它继续运转直至出现故障的时间间隔总有同样的分布。
  5. 对数正态分布(Lognormal Distribution):若随机变量x的自然对数是正态的,则x就服从对数正态分布。对数正态分布的常见例子是股票价格。

常用的离散分布

  1. 贝努利分布(Bernoulli Distribution)描述的是只有两个以常数概率出现的可能结果的随机变量的特性;
  2. 二项分布(Binomial Distribution)给出每次试验成功概率为p的n次独立重复贝努利实验的模型;
  3. 泊松分布(Poisson Distribution)用于建立某种度量单位内发生次数的模型的一种离散分布,如某时段内某事件发生的次数。

其他有用的分布如伽玛分布(Gamma Distribution)、威布尔分布(Weibull Distribution)、贝塔分布(Beta Distribution)略之。

4.下期预告

上次落了些东西。说到蒙卡与C++,在数量金融领域,不能不提的一本书就是Mark Joshi的C++ Design Patterns and Derivatives Pricing (Cambridge Uni. Press, 2004),面试中一定要说自己读过的,这样人家以为你至少会用C++做一个蒙特卡罗模拟。这个系列只讲SAS,下次先讲如何用SAS生成随机数,然后就是具体的项目。

———参考资料———

  1. Xitao Fan, etc..Monte Carlo Studies: A Guide for Quantitative Researchers. SAS Institute Inc.,2002
  2. Sheldon M. Ross. Simulation(4th Ed).Elsevier Inc..2006
  3. J.R.Evans等《模拟与风险分析》,洪锡熙译,上海:上海人民出版社,2001
  4. 徐钟济《蒙特卡罗方法》,上海:上海科学技术出版社,1985

转载请注明:数据分析 » SAS和蒙特卡罗模拟(2):随机数基础

喜欢 (0)or分享 (0)
发表我的评论
取消评论
表情

Hi,您需要填写昵称和邮箱!

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址