本站分享:大数据、数据分析师考试认证培训,包括:Python培训Excel培训Matlab培训SPSS培训SAS培训R语言培训Hadoop培训Amos培训Stata培训Eviews培训广告位

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

python培训 cdadata 241℃ 0评论

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)

关键词:mcmc采样,mcmc采样算法,mcmc算法原理,ad采样原理,adc采样原理

本文用讲一下指定分布的随机抽样方法:MC(Monte Carlo), MC(Markov Chain), MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的基本原理,并用R语言实现了几个例子:

1. Markov Chain (马尔科夫链)

2. Random Walk(随机游走)

3. MCMC具体方法:

3.1 M-H法

3.2 Gibbs采样

PS:本篇blog为ese机器学习短期班参考资料(20140516课程),课上讲详述。

下面三节分别就前面几点简要介绍基本概念,并附上代码。这里的概念我会用最最naive的话去概括,详细内容就看我最下方推荐的链接吧(*^__^*)

0. MC(Monte Carlo)

生成指定分布的随机数的抽样。

1. Markov Chain (马尔科夫链)

假设 f(t) 是一个时间序列,Markov Chain是假设f(t+1)只与f(t)有关的随机过程。

Implement in R:

  1. #author: rachel @ ZJU
  2. #email: zrqjennifer@gmail.com
  3. N = 10000
  4. signal = vector(length = N)
  5. signal[1] = 0
  6. for (i in 2:N)
  7. {
  8.     # random select one offset (from [-1,1]) to signal[i-1]
  9.     signal[i] = signal[i-1] + sample(c(-1,1),1)
  10. }
  11. plot( signal,type = ‘l’,col = ‘red’)

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

 

2. Random Walk(随机游走)

如布朗运动,只是上面Markov Chain的二维拓展版:

Implement in R:

  1. #author: rachel @ ZJU
  2. #email: zrqjennifer@gmail.com
  3. N = 100
  4. x = vector(length = N)
  5. y = vector(length = N)
  6. x[1] = 0
  7. y[1] = 0
  8. for (i in 2:N)
  9. {
  10.     x[i] = x[i-1] + rnorm(1)
  11.     y[i] = y[i-1] + rnorm(1)
  12. }
  13. plot(x,y,type = ‘l’, col=‘red’)

 

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

3. MCMC具体方法:

 

MCMC方法最早由Metropolis(1954)给出,后来Metropolis的算法由Hastings改进,合称为M-H算法。M-H算法是MCMC的基础方法。由M-H算法演化出了许多新的抽样方法,包括目前在MCMC中最常用的Gibbs抽样也可以看做M-H算法的一个特例[2]。

概括起来,MCMC基于这样的理论,在满足【平衡方程】(detailed balance equation)条件下,MCMC可以通过很长的状态转移到达稳态。

【平衡方程】:
pi(x) * P(y|x) = pi(y) * P(x|y)
其中pi指分布,P指概率。这个平衡方程也就是表示条件概率(转化概率)与分布乘积的均衡.

3.1 M-H法

1. 构造目标分布,初始化x0

2. 在第n步,从q(y|x_n) 生成新状态y

3. 以一定概率((pi(y) * P(x_n|y)) / (pi(x) * P(y|x_n)))接受y <PS: 看看上面的平衡方程,这个概率表示什么呢?参考这里和[1]>

implementation in R:

  1. #author: rachel @ ZJU
  2. #email: zrqjennifer@gmail.com
  3. N = 10000
  4. x = vector(length = N)
  5. x[1] = 0
  6. # uniform variable: u
  7. u = runif(N)
  8. m_sd = 5
  9. freedom = 5
  10. for (i in 2:N)
  11. {
  12.     y = rnorm(1,mean = x[i-1],sd = m_sd)
  13.     print(y)
  14.     #y = rt(1,df = freedom)
  15.     p_accept = dnorm(x[i-1],mean = y,sd = abs(2*y+1)) / dnorm(y, mean = x[i-1],sd = abs(2*x[i-1]+1))
  16.     #print (p_accept)
  17.     if ((u[i] <= p_accept))
  18.     {
  19.         x[i] = y
  20.         print(“accept”)
  21.     }
  22.     else
  23.     {
  24.         x[i] = x[i-1]
  25.         print(“reject”)
  26.     }
  27. }
  28. plot(x,type = ‘l’)
  29. dev.new()
  30. hist(x)

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

3.2 Gibbs采样

第n次,Draw from ,迭代采样结果接近真实p(\theta_1, \theta_2, …)
也就是每一次都是固定其他参数,对一个参数进行采样。比如对于二元正态分布,其两个分量的一元条件分布仍满足正态分布:

那么在Gibbs采样中对其迭代采样的过程,实现如下:

  1. #author: rachel @ ZJU
  2. #email: zrqjennifer@gmail.com
  3. #define Gauss Posterior Distribution
  4. p_ygivenx < function(x,m1,m2,s1,s2)
  5. {
  6.     return (rnorm(1,m2+rho*s2/s1*(x-m1),sqrt(1-rho^2)*s2 ))
  7. }
  8. p_xgiveny < function(y,m1,m2,s1,s2)
  9. {
  10.     return  (rnorm(1,m1+rho*s1/s2*(y-m2),sqrt(1-rho^2)*s1 ))
  11. }
  12. N = 5000
  13. K = 20 #iteration in each sampling
  14. x_res = vector(length = N)
  15. y_res = vector(length = N)
  16. m1 = 10m2 = -5; s1 = 5s2 = 2
  17. rho = 0.5
  18. y = m2
  19. for (i in 1:N)
  20. {
  21.     for(i in 1:K)
  22.     {
  23.         x = p_xgiveny(y, m1,m2,s1,s2)
  24.         y = p_ygivenx(x, m1,m2,s1,s2)
  25.         # print(x)
  26.         x_res[i] = x;
  27.         y_res[i] = y;
  28.     }
  29. }
  30. hist(x_res,freq = 1)
  31. dev.new()
  32. plot(x_res,y_res)
  33. library(MASS)
  34. valid_range = seq(from = N/2, to = Nby = 1)
  35. MVN.kdensity < kde2d(x_res[valid_range], y_res[valid_range], h = 10) #估计核密度
  36. plot(x_res[valid_range], y_res[valid_range], col = “blue”xlab = “x”ylab = “y”)
  37. contour(MVN.kdensity, add = TRUE)#二元正态分布等高线图
  38. #real distribution
  39. real = mvrnorm(N,c(m1,m2),diag(c(s1,s2)))
  40. # dev.new()
  41. # plot(real[1:N,1],real[1:N,2])

x分布图:

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

(x,y)分布图:

MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

Reference:

1. http://www2.isye.gatech.edu/~brani/isyebayes/bank/handout10.pdf

2. http://site.douban.com/182577/widget/notes/10567181/note/292072927/

3. book:     http://statweb.stanford.edu/~owen/mc/

4. Classic: http://cis.temple.edu/~latecki/Courses/RobotFall07/PapersFall07/andrieu03introduction.pdf

转载请注明:数据分析 » MC, MCMC, Gibbs采样 原理&实现(in R)_mcmc采样算法

喜欢 (0)or分享 (0)

您必须 登录 才能发表评论!