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MATLAB程序设计教程(6)—MATLAB数据分析与多项式计算

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MATLAB程序设计教程(6)—MATLAB数据分析与多项式计算

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6  MATLAB数据分析与多项式计算

6.1  数据统计处理

6.2  数据插值

6.3  曲线拟合

6.4  离散傅立叶变换

6.5  多项式计算

 

6.1  数据统计处理

6.1.1 最大值和最小值

MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min,两个函数的调用格式和操作过程类似。

1.求向量的最大值和最小值

求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式,分别是:

(1) y=max(X):返回向量X的最大值存入y,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。

(2) [y,I]=max(X):返回向量X的最大值存入y,最大值的序号存入I,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。

求向量X的最小值的函数是min(X),用法和max(X)完全相同。

例6-1  求向量x的最大值。

命令如下:

x=[-43,72,9,16,23,47];

y=max(x)              %求向量x中的最大值

[y,l]=max(x)         %求向量x中的最大值及其该元素的位置

 

2.求矩阵的最大值和最小值

求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式,分别是:

(1) max(A):返回一个行向量,向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。

(2) [Y,U]=max(A):返回行向量Y和U,Y向量记录A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。

 

(3) max(A,[],dim):dim取1或2。dim取1时,该函数和max(A)完全相同;dim取2时,该函数返回一个列向量,其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。

求最小值的函数是min,其用法和max完全相同。

例6-2  分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值,并求整个矩阵的最大值和最小值。

 

3.两个向量或矩阵对应元素的比较

函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较,调用格式为:

(1) U=max(A,B):A,B是两个同型的向量或矩阵,结果U是与A,B同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。

(2) U=max(A,n):n是一个标量,结果U是与A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。

min函数的用法和max完全相同。

例6-3  求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。

 

6.1.2  求和与求积

数据序列求和与求积的函数是sum和prod,其使用方法类似。设X是一个向量,A是一个矩阵,函数的调用格式为:

sum(X):返回向量X各元素的和。

prod(X):返回向量X各元素的乘积。

sum(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素和。

 

prod(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素乘积。

sum(A,dim):当dim为1时,该函数等同于sum(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素之和。

prod(A,dim):当dim为1时,该函数等同于prod(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。

例6-4  求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。

 

6.1.3 平均值和中值

求数据序列平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为:

mean(X):返回向量X的算术平均值。

median(X):返回向量X的中值。

mean(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的算术平均值。

median(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的中值。

mean(A,dim):当dim为1时,该函数等同于mean(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的算术平均值。

median(A,dim):当dim为1时,该函数等同于median(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的中值。

例6-5  分别求向量x与y的平均值和中值。

 

6.1.4  累加和与累乘积

在MATLAB中,使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量,函数的调用格式为:

cumsum(X):返回向量X累加和向量。

cumprod(X):返回向量X累乘积向量。

cumsum(A):返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累加和向量。

cumprod(A):返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累乘积向量。

cumsum(A,dim):当dim为1时,该函数等同于cumsum(A);当dim为2时,返回一个矩阵,其第i行是A的第i行的累加和向量。

cumprod(A,dim):当dim为1时,该函数等同于cumprod(A);当dim为2时,返回一个向量,其第i行是A的第i行的累乘积向量。

例6-6  求s的值。

 

6.1.5  标准方差与相关系数

1.求标准方差

在MATLAB中,提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X,std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A,std(A)返回一个行向量,它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为:

Y=std(A,flag,dim)

其中dim取1或2。当dim=1时,求各列元素的标准方差;当dim=2时,则求各行元素的标准方差。flag取0或1,当flag=0时,按σ1所列公式计算标准方差,当flag=1时,按σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0,dim=1。

例6-7  对二维矩阵x,从不同维方向求出其标准方差。

 

2.相关系数

MATLAB提供了corrcoef函数,可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为:

corrcoef(X):返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量,然后求它们的相关系数。

corrcoef(X,Y):在这里,X,Y是向量,它们与corrcoef([X,Y])的作用一样。

 

例6-8  生成满足正态分布的10000×5随机矩阵,然后求各列元素的均值和标准方差,再求这5列随机数据的相关系数矩阵。

命令如下:

X=randn(10000,5);

M=mean(X)

D=std(X)

R=corrcoef(X)

 

6.1.6  排序

MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X),函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。

sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序,其调用格式为:

[Y,I]=sort(A,dim)

其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1,则按列排;若dim=2,则按行排。Y是排序后的矩阵,而I记录Y中的元素在A中位置。

 

例6-9  对二维矩阵做各种排序。

6.2  数据插值

6.2.1  一维数据插值

在MATLAB中,实现这些插值的函数是interp1,其调用格式为:

Y1=interp1(X,Y,X1,’method’)

函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法,允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。

 

注意:X1的取值范围不能超出X的给定范围,否则,会给出“NaN”错误。

例6-10  用不同的插值方法计算在π/2点的值。

MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。

 

例6-11  某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(℃),用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。

设时间变量h为一行向量,温度变量t为一个两列矩阵,其中第一列存放室内温度,第二列储存室外温度。命令如下:

h =6:2:18;

t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]’;

XI =6.5:2:17.5

YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)          %用3次样条插值计算

 

6.2.2  二维数据插值

在MATLAB中,提供了解决二维插值问题的函数interp2,其调用格式为:

Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,’method’)

其中X,Y是两个向量,分别描述两个参数的采样点,Z是与参数采样点对应的函数值,X1,Y1是两个向量或标量,描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。

同样,X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围,否则,会给出“NaN”错误。

 

例6-12  设z=x2+y2,对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。

例6-13  某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米),用h表示测量时间0:30:60(秒),用T表示测试所得各点的温度(℃)。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。

命令如下:

x=0:2.5:10;

h=[0:30:60]’;

T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];

xi=[0:10];

hi=[0:20:60]’;

TI=interp2(x,h,T,xi,hi)

 

6.3  曲线拟合

在MATLAB中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。

polyfit函数的调用格式为:

[P,S]=polyfit(X,Y,m)

函数根据采样点X和采样点函数值Y,产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量,P是一个长度为m+1的向量,P的元素为多项式系数。

polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值,将在6.5.3节中详细介绍。

 

例6-14  已知数据表[t,y],试求2次拟合多项式p(t),然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各点的函数近似值。

 

6.4  离散傅立叶变换

6.4.1 离散傅立叶变换算法简要

6.4.2 离散傅立叶变换的实现

一维离散傅立叶变换函数,其调用格式与功能为:

(1) fft(X):返回向量X的离散傅立叶变换。设X的长度(即元素个数)为N,若N为2的幂次,则为以2为基数的快速傅立叶变换,否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X,fft(X)应用于矩阵的每一列。

 

(2) fft(X,N):计算N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为N,若X的长度小于N,则不足部分补上零;若大于N,则删去超出N的那些元素。对于矩阵X,它同样应用于矩阵的每一列,只是限定了向量的长度为N。

(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim):这是对于矩阵而言的函数调用格式,前者的功能与FFT(X)基本相同,而后者则与FFT(X,N)基本相同。只是当参数dim=1时,该函数作用于X的每一列;当dim=2时,则作用于X的每一行。

 

值得一提的是,当已知给出的样本数N0不是2的幂次时,可以取一个N使它大于N0且是2的幂次,然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样,计算速度将大大加快。

相应地,一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换;ifft(F,N)为N点逆变换;ifft(F,[],dim)或ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。

 

例6-15  给定数学函数

x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)

取N=128,试对t从0~1秒采样,用fft作快速傅立叶变换,绘制相应的振幅-频率图。

在0~1秒时间范围内采样128点,从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1,故在实际应用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立叶变换来说,其振幅| F(k)|是关于N/2对称的,故只须使k从0到N/2即可。

 

程序如下:

N=128;                         % 采样点数

T=1;                                 % 采样时间终点

t=linspace(0,T,N);                % 给出N个采样时间ti(I=1:N)

x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);  % 求各采样点样本值x

dt=t(2)-t(1);                   % 采样周期

f=1/dt;                          % 采样频率(Hz)

X=fft(x);                        % 计算x的快速傅立叶变换X

F=X(1:N/2+1);                   % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)

f=f*(0:N/2)/N;                  % 使频率轴f从零开始

plot(f,abs(F),’-*’)            % 绘制振幅-频率图

xlabel(‘Frequency’);

ylabel(‘|F(k)|’)

 

6.5  多项式计算

6.5.1  多项式的四则运算

1.多项式的加减运算

2.多项式乘法运算

函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里,P1、P2是两个多项式系数向量。

例6-16  求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。

 

3.多项式除法

函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。这里,Q和r仍是多项式系数向量。

deconv是conv的逆函数,即有P1=conv(P2,Q)+r。

 

例6-17  求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。

6.5.2  多项式的导函数

对多项式求导数的函数是:

p=polyder(P):求多项式P的导函数

p=polyder(P,Q):求P·Q的导函数

[p,q]=polyder(P,Q):求P/Q的导函数,导函数的分子存入p,分母存入q。

上述函数中,参数P,Q是多项式的向量表示,结果p,q也是多项式的向量表示。

 

例6-18  求有理分式的导数。

命令如下:

P=[1];

Q=[1,0,5];

[p,q]=polyder(P,Q)

 

6.5.3  多项式的求值

MATLAB提供了两种求多项式值的函数:polyval与polyvalm,它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值,而后者是矩阵多项式求值。

 

1.代数多项式求值

polyval函数用来求代数多项式的值,其调用格式为:

Y=polyval(P,x)

若x为一数值,则求多项式在该点的值;若x为向量或矩阵,则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。

例6-19  已知多项式x4+8×3-10,分别取x=1.2和一个2×3矩阵为自变量计算该多项式的值。

 

2.矩阵多项式求值

polyvalm函数用来求矩阵多项式的值,其调用格式与polyval相同,但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵,它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵,P代表多项式x3-5×2+8,那么polyvalm(P,A)的含义是:

A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))

而polyval(P,A)的含义是:

A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

例6-20  仍以多项式x4+8×3-10为例,取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

 

6.5.4 多项式求根

n次多项式具有n个根,当然这些根可能是实根,也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根,其调用格式为:

x=roots(P)

其中P为多项式的系数向量,求得的根赋给向量x,即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。

 

例6-21  求多项式x4+8x3-10的根。

命令如下:

A=[1,8,0,0,-10];

x=roots(A)

若已知多项式的全部根,则可以用poly函数建立起该多项式,其调用格式为:

P=poly(x)

若x为具有n个元素的向量,则poly(x)建立以x为其根的多项式,且将该多项式的系数赋给向量P。

 

例6-22  已知 f(x)

(1) 计算f(x)=0 的全部根。

(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x),并与f(x)进行对比。

命令如下:

P=[3,0,4,-5,-7.2,5];

X=roots(P)            %求方程f(x)=0的根

G=poly(X)            %求多项式g(x)

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