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马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

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马尔科夫链与转移矩阵

关键词:马尔科夫转移矩阵 马尔科夫转移概率矩阵 马尔科夫转移矩阵计算

什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)

转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。

 

转移概率矩阵的特征

转移概率矩阵有以下特征:

①,0≤Pij≤1

,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。

 

转移概率矩阵的分析

所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。

这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。

由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。

 

转移概率与转移概率矩阵[1]

假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中,有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏,40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏,30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。

表-1 两种牙膏之间的转移概率

  拟用 黑妹牙膏 中华牙膏
现用
黑妹牙膏 60% 40%
中华牙膏 30% 70%

上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵

马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化

有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下:

即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。

假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为:

这里称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵

正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

 

转移概率矩阵案例分析

 

案例一: 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化[1]

有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下:

即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为:

=

=

=(4170,5830)

这里

称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

 

参考文献

  1. 1.0 1.1 决策支持系统导论.第二章 市场需求预测与预测支持系统

 

相关条目

  • 转移概率
  • 马尔可夫过程

转移概率(transition probability)

 

什么是转移概率

转移概率是马尔可夫链中的重要概念,若马氏链分为m个状态组成,历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发,经过任意一次转移,必然出现状态1、2、……,m中的一个,这种状态之间的转移称为转移概率。

当样本中状态m可能发生转移的总次数为i,而由状态m到未来任一时刻转为状态ai的次数时,则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为:

P_{ij}(m,m+n)=Pleft{X_m+n = a_j|X_m=a_i right}

这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵:P(m,m+n)(Pij(m,m + n))

当m=1时为一阶转概率矩阵,mge2时为高阶概率转移矩阵,有了概率转移矩阵,就得到了状态之间经一步和多步转移的规律,这些规律就是贷款状态间演变规律的表,当初始状态已知时,可以查表做出不同时期的预测。

 

转移概率与转移概率矩阵[1]

假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。 根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中, 有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏, 40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏, 30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。

表-1 两种牙膏之间的转移概率

  拟用 黑妹牙膏 中华牙膏
现用
黑妹牙膏 60% 40%
中华牙膏 30% 70%

上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵

马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化

有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下:

即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。

假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为:

这里称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵

正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

 

马尔可夫过程(Markov Process)

什么是马尔可夫过程

1、马尔可夫性(无后效性)

过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t > t0所处状态的条件分布,与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。

即:过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。

2、马尔可夫过程的定义

具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

用分布函数表述马尔可夫过程:

设I:随机过程{X(t),tin T}的状态空间,如果对时间t的任意n个数值:

P{X(t_n)le x_n|X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,cdots ,X(t_{n-1})=x_{n-1}}(注:X(tn)在条件X(ti) = xi下的条件分布函数)

=P{X(t_nle x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1}},x_nin R(注:X(tn))在条件X(tn − 1) = xn − 1下的条件分布函数)

或写成:

F_{t_n|t_1cdots t_{n-1}}(x_n,t_n|x_1,x_2,cdots,x_{n-1};t_1,t_2,cdots,t_{n-1})

F_{t_n|t_{n-1}}(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1})

这时称过程X(t),tin T具马尔可夫性或无后性,并称此过程为马尔可夫过程。

3、马尔可夫链的定义

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为{X_n=X(n),n=0,1,2,cdots}

马尔可夫过程的概率分布

研究时间和状态都是离散的随机序列:{X_n=X(n),n=0,1,2,cdots},状态空间为I={a_1,a_2,cdots},a_iin R

1、用分布律描述马尔可夫性

对任意的正整数n,r和0le t_1<t_2<cdots <t_r<m;t_i,m,n+min T_i,有:

P{X_{m+n}=a_j|X_{t_1}=a_{i_1},X_{t_2}=a_{i_2},cdots,X_{t_r}=a_{i_r},X_m=a_i}

PXm + n = aj | Xm = ai,其中a_iin I

2、转移概率

称条件概率Pij(m,m + n) = PXm + n = aj | Xm = ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下,在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。

说明:转移概率具胡特点:

马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

  由转移概率组成的矩阵马尔可夫过程称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。

3、平稳性

当转移概率Pij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时,称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。

此时,记Pij(m,m + n) = Pij(n),Pij(n) = PXm + n = aj | Xm = ai(注:称为马氏链的n步转移概率)

P(n) = (Pij(n))为n步转移概率矩阵。

特别的, 当 k=1 时,

一步转移概率:Pij = Pij(1) = PXm + 1 = aj | Xm = ai

一步转移概率矩阵:P(1)

马尔可夫过程

马尔可夫过程的应用举例

设任意相继的两天中,雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态,以1表示雨天状态,Xn表示第n天状态(0或1)。试定出马氏链X_n,nge 1的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天,问5月3日为晴天,5月5日为雨天的概率各等于多少?

解:由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为:

马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

马尔可夫过程

故5月1日为晴天,5月3日为晴天的概率为:

马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩

又由于:马尔可夫过程

故5月1日为晴天,5月5日为雨天的概率为:P01(4) = 0.5995

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  1. 转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
    cdadata2016-11-01 16:14