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二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

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二元逻辑与逻辑回归

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二元逻辑把对世界的判断分为非此即彼的对立。

逻辑回归:

首先,通常人们将“Logistic回归”、“Logistic模型”、“Logistic回归模型”及“Logit模型”的称谓相互通用,来指同一个模型,唯一的区别是形式有所不同:logistic回归是直接估计概率,而logit模型对概率做了Logit转换。不过,SPSS软件好像将以分类自变量构成的模型称为Logit模型,而将既有分类自变量又有连续自变量的模型称为Logistic回归模型。至于是二元还是多元,关键是看因变量类别的多少,多元是二元的扩展。

其次,当因变量是名义变量时,Logit和Probit没有本质的区别,一般情况下可以换用。区别在于采用的分布函数不同,前者假设随机变量服从逻辑概率分布,而后者假设随机变量服从正态分布。其实,这两种分布函数的公式很相似,函数值相差也并不大,唯一的区别在于逻辑概率分布函数的尾巴比正态分布粗一些。但是,如果因变量是序次变量,回归时只能用有序Probit模型。有序Probit可以看作是Probit的扩展


什么是逻辑回归?

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处,最大的区别就在于它们的因变量不同,其他的基本都差不多。正是因为如此,这两种回归可以归于同一个家族,即广义线性模型(generalizedlinear model)。

这一家族中的模型形式基本上都差不多,不同的就是因变量不同。

  • 如果是连续的,就是多重线性回归;
  • 如果是二项分布,就是Logistic回归;
  • 如果是Poisson分布,就是Poisson回归;
  • 如果是负二项分布,就是负二项回归。

Logistic回归的因变量可以是二分类的,也可以是多分类的,但是二分类的更为常用,也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。

Logistic回归的主要用途:

  • 寻找危险因素:寻找某一疾病的危险因素等;
  • 预测:根据模型,预测在不同的自变量情况下,发生某病或某种情况的概率有多大;
  • 判别:实际上跟预测有些类似,也是根据模型,判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大,也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

Logistic回归主要在流行病学中应用较多,比较常用的情形是探索某疾病的危险因素,根据危险因素预测某疾病发生的概率,等等。例如,想探讨胃癌发生的危险因素,可以选择两组人群,一组是胃癌组,一组是非胃癌组,两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌,即“是”或“否”,自变量就可以包括很多了,例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的,也可以是分类的。

 

常规步骤

Regression问题的常规步骤为:

  1. 寻找h函数(即hypothesis);
  2. 构造J函数(损失函数);
  3. 想办法使得J函数最小并求得回归参数(θ)

构造预测函数h

Logistic回归虽然名字里带“回归”,但是它实际上是一种分类方法,主要用于两分类问题(即输出只有两种,分别代表两个类别),所以利用了Logistic函数(或称为Sigmoid函数),函数形式为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形,如下图所示(引自维基百科):

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

下面左图是一个线性的决策边界,右图是非线性的决策边界。

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

对于线性边界的情况,边界形式如下:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

构造预测函数为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

函数的值有特殊的含义,它表示结果取1的概率,因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

构造损失函数J

Cost函数和J函数如下,它们是基于最大似然估计推导得到的。

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

下面详细说明推导的过程:

(1)式综合起来可以写成:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

取似然函数为:

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对数似然函数为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

最大似然估计就是求使取最大值时的θ,其实这里可以使用梯度上升法求解,求得的θ就是要求的最佳参数。但是,在Andrew Ng的课程中将取为下式,即:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

因为乘了一个负的系数-1/m,所以取最小值时的θ为要求的最佳参数。

梯度下降法求的最小值

θ更新过程:

 

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归
二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

θ更新过程可以写成:

 二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

向量化Vectorization

Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环,以简化计算过程,提高效率。

如上式,Σ(…)是一个求和的过程,显然需要一个for语句循环m次,所以根本没有完全的实现vectorization。

下面介绍向量化的过程:

约定训练数据的矩阵形式如下,x的每一行为一条训练样本,而每一列为不同的特称取值:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

g(A)的参数A为一列向量,所以实现g函数时要支持列向量作为参数,并返回列向量。由上式可知二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归可由二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归一次计算求得。

θ更新过程可以改为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

综上所述,Vectorization后θ更新的步骤如下:

(1)求二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

(2)求二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

(3)求 二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

 

正则化Regularization

过拟合问题

对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型,可能会有些权重很大,有些权重很小,导致过拟合(就是过分拟合了训练数据),使得模型的复杂度提高,泛化能力较差(对未知数据的预测能力)。

下面左图即为欠拟合,中图为合适的拟合,右图为过拟合。

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

问题的主因

过拟合问题往往源自过多的特征。

解决方法

1)减少特征数量(减少特征会失去一些信息,即使特征选的很好)

  • 可用人工选择要保留的特征;
  • 模型选择算法;

2)正则化(特征较多时比较有效)

  • 保留所有特征,但减少θ的大小

正则化方法

正则化是结构风险最小化策略的实现,是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数,模型越复杂,正则化项就越大。

从房价预测问题开始,这次采用的是多项式回归。左图是适当拟合,右图是过拟合。

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

直观来看,如果我们想解决这个例子中的过拟合问题,最好能将二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归的影响消除,也就是让。假设我们对进行惩罚,并且令其很小,一个简单的办法就是给原有的Cost函数加上两个略大惩罚项,例如:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

这样在最小化Cost函数的时候,

正则项可以取不同的形式,在回归问题中取平方损失,就是参数的L2范数,也可以取L1范数。取平方损失时,模型的损失函数变为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

lambda是正则项系数:

  • 如果它的值很大,说明对模型的复杂度惩罚大,对拟合数据的损失惩罚小,这样它就不会过分拟合数据,在训练数据上的偏差较大,在未知数据上的方差较小,但是可能出现欠拟合的现象;
  • 如果它的值很小,说明比较注重对训练数据的拟合,在训练数据上的偏差会小,但是可能会导致过拟合。

正则化后的梯度下降算法θ的更新变为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

正则化后的线性回归的Normal Equation的公式为:

二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归

其他优化算法

  • Conjugate gradient method(共轭梯度法)
  • Quasi-Newton method(拟牛顿法)
  • BFGS method
  • L-BFGS(Limited-memory BFGS)

后二者由拟牛顿法引申出来,与梯度下降算法相比,这些算法的优点是:

  • 第一,不需要手动的选择步长;
  • 第二,通常比梯度下降算法快;

但是缺点是更复杂。

 

多类分类问题

对于多类分类问题,可以将其看做成二类分类问题:保留其中的一类,剩下的作为另一类。

对于每一个类 i 训练一个逻辑回归模型的分类器二元逻辑与逻辑回归_二元逻辑回归,并且预测y = i时的概率;对于一个新的输入变量x, 分别对每一个类进行预测,取概率最大的那个类作为分类结果:

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参考链接

 http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/15962797

Coursera公开课笔记: 斯坦福大学机器学习第六课“逻辑回归(Logistic Regression)”

Coursera公开课笔记: 斯坦福大学机器学习第七课“正则化(Regularization)”

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