Efron的LARS算法

最近临时抱佛脚，为了报告一篇Group Regression的文章，研究了一下Efron于2004年发在Annals of Statistics里一篇被discuss的论文。这篇文章很长，有45页。加上后面一些模型方面大牛的discuss paper，一共有93页。对于这种超长论文，我向来敬畏。后来因为要报告的文章里很多东西都看不懂，才回过头来研读这篇基石性的文章。

因此在这个基础上，Efron提出了Forward stepwise。也就是先找变量，找到第一个变量后不急于做最小二乘回归，而是在变量的solution path上一点一点的proceed，每前进一点，都要计算一下当前的残差和原有的所有变量的相关系数，找出绝对值最大的相关系数对应的变量。我们可以想象，刚开始，前进的步伐很小，相关系数绝对值最大的对应的变量一定还是第一步选入的变量。但是随着前进的进程不断向前，这个相关系数的绝对值是在慢慢减小的，直到找到另外一个变量X2，它和当前前残差的相关系数和第一个入选变量X1的相关系数相同，排在并列第一。此时把X2也加入回归模型中，此时回归模型在X1上的系数已经确定了，如果在X1的solution path上继续前进，则得到的与当前参差相关系数最大的变量一定是X2，所以不再前进，而是改为在X2的solution path上前进，直到找到第三个变量X3，使得X3的与当前残差的相关系数最大。这样一步一步进行下去。每一步都是很多小步组成。直到某个模型判定准则生效，停止这个步骤。在每一个solution path上的计算都是线性的。这种算法是一种自动进行模型构建的方法。它和传统的Forward selection在本质上是一样的，都是选择一个变量，然后选择一个继续进行的solution path，在该方向上前进。这两种方法的solution path的选择方法是一样的，唯一的区别就是前进的步伐不一样，Forward selection的前进步伐很大，一次到头，而stepwise则是一小步一小步前进。这样比Forward selection要谨慎一些，会免于漏掉一些重要的变量。

从这个视角来看，我们可以选择另外一种solution path。Efron在这篇文章中，就提出了一种新的solution path。在已经入选的变量中，寻找一个新的路径，使得在这个路径上前进时，当前参差与已入选变量的相关系数都是相同的。直到找出新的与当前参差相关系数最大的变量。下面我简单的描述一下这个算法：

第一步，我们的估计的模型为0，那么当前的残差就是Y,我们找出X’Y中绝对值最大的那个对应的变量，记为X1,把它加入回归模型。这一步中X’Y是当前残差和所有变量的相关系数向量。（注意这里Y都已经中心化，X中心标准化过了）。

第二步，在已选的变量的solution path上proceed，solution path就是s1*X1，s1是X1与当前参差的相关系数的符号。在这个path上proceed，直到另外一个变量出现，使得X1与当前残差的相关系数与它和当前残差的相关系数相同。记这个变量为X2，把它加入回归模型中。

第三部，找到新的solution path。Efron在文章中提出了一种找出满足LARS条件的solution path的解法。solution path需要使得已选入模型变量和当前残差的相关系数均相等。因此这样的路径选择它的方向很显然就是Xk（Xk’Xk)^(-1)的指向。只要再标准化这个向量，我们便就找到了solution path的方向。在这个方向上proceed，直到下一个满足与当前残差相关系数绝对值最大的变量出现。如此继续下去。

LARS算法，保证了所有入选回归模型的变量在solution path上proceed的时候，与当前残差的相关系数都是一样的。这一点，比起Forward stepwise要捷径一些，走得更快一些。

LARS算法已经在SAS和R中均实现了。作为回归模型选择的一种重要的算法，LARS相比起传统的Forward selection和forward stepwise，是一种这种的方法，既不那么富于侵略性，又比较走捷径。

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